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距高考还有35天

函数的极值

我这样理解极值相关概念：

➤极值点不是一个点，而是点的横坐标(类似零点概念)；➤函数的极值点可能不唯一，有时会有多个；➤定义域端点一定不是极值点，端点的函数值一定不是极值；➤极值是函数局部性质，是在定义域某一局部范围内的最大值或最小值；➤函数的最大值为MAX{极值、边界函数值}最小值为MIN{极值、边界函数值}；➤极值点原本与导数无关；

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认识两个假命题

函数在极值点处一定取图像局部的最高点或最低点。而导数为0，则只能说明函数在该点处的切线是水平的，并不能代表这个点就一定最高或最低。

所以，现在知道，为什么课本中在判断极值点时，总是会不厌其烦地列表了吧?那是因为，就算求出了导函数的零点，也并不能完全说明该点就是极值点，更不能说明是极大值点或极小值点。

典例讲解

函数在极值点处一定是图像局部的最高点或最低点。但并不能说明函数在该点处导数就一定存在取，只有导数存在时，极值点处的导数值才等于0。

“圆点可导，尖点不可导”，是指曲线只有在圆点处才会存在切线，而尖点处是不存在切线的。

那么，从这两个假命题我们就不难看出，函数“在某点处的导数值为0”，应该是“该点为极值点”的既不充分也不必要条件。

当然，对于可导函数来说，函数“在某点处的导数值为0”，应该是“该点为极值点”的必要不充分条件。

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极值与最值的关系

其实，极值与最值的关系是很好理解的，极值是函数局部范围的最大或最小值。而最值，是函数在整个定义域内的最大或最小值。极值一定在定义域内部产生，而最值，有可能是函数在定义域端点处的函数值。因此，求函数的最值，只需求出函数的全体极值以及端点函数值，再进行比较，最大的为函数最大值，最小的，为函数最小值。图解极值与最值

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从极值到“拉格朗日乘数法”

如果从函数的角度来说，我们一般把含一个自变量的函数称为一元函数，也就是我们现在所常见的函数了；如果一个函数含有两个自变量，我们称之为二元函数，可以以此类推。一元函数的图像是曲线，二元函数的图像在三维空间里应该就是曲面了。一元函数的极值点是函数图像的拐弯点，也就是增减区间的分界点，那二元函数呢?曲面的“拐弯”点依然叫做极值点。如下图：二元函数极值点当然和一元函数一样也并不是所有的二元函数都有极值点的

 在我们考试时，是不是经常会遇见让人头疼的二元代数式的最值问题呢?其实，我们如果从二元函数极值的角度去进行思考，就很方便了。我们就直接看例子。不过在例题之前，还是要先了解一个概念——偏导数。在数学中，一个多变量函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定。

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特别说明：和一元函数极值点与该点处导数为0之间的关系相类似，两者并不等价，但在高中阶段，一般情况下计算出的结果即为最值。

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